BIBLIOGRÁFICA RECOMENDADA

(1)   El álgebra lineal detrás de los buscadores de internet de Carlos D’Andrea

(2)   Transformaciones lineales en 3D de Ricardo Ramos.

(3)   La criptografía y el álgebra de Nibcode Solutions

(4)   Inteligencia artificial y el álgebra lineal de Eric Alejandro García Cortez

(5)   Sistema de reconocimiento facial de SLtecnología

EL ÁLGEBRA LINEAL EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL

En la tecnología informática, una red neuronal es un sistema de computación que dispone de unos elementos denominados neuronas que están muy interconectadas y responden ante estímulos, disponiendo de la capacidad de cambiar de comportamiento cuando la situación cambia debido a que autoaprenden.

Las redes neuronales se organizan por capas, en las que cada capa está conectada a la siguiente. Hay una primera capa que es por donde se introducen los datos de entrada, una última capa que es por donde salen los datos y las demás capadas están ocultas.

Las neuronas de la capa de entrada tienen un potencial sináptico (potencial de conexión) con las neuronas de la siguiente capa y así sucesivamente.

Si representamos los valores de entrada mediante la matriz X y los pesos ponderados de conexión de las neuronas de una capa con las neuronas de la capa siguiente mediante la matriz W. El proceso de conexión de una capa con la siguiente se describe como:

XW=H

Aplicando esto a las conexiones de las distintas capas al final se obtendrá la matriz Z con los resultados finales de la red.

EL ÁLGEBRA LINEAL EN EL RECONOCIMIENTO DE FORMAS

En cuanto al reconocimiento de formas hay infinidad de aplicaciones tales como reconocimiento de rostros en fotografías, huellas digitales, reconocimientos biométricos,... cuyos modelos de análisis del problema están basados en el álgebra lineal.

Nos centraremos en el caso de los algoritmos de reconocimiento facial, que permiten reconocer a una persona en una imagen digital utilizando sofisticadas representaciones matemáticas y procesos de coincidencia. Uno de los métodos de reconocimiento facial es el análisis de los componentes principales. Para utilizar este método, las imágenes deben ser del mismo tamaño y deben ser normalizadas para alinear los ojos y bocas de todos los individuos de las imágenes. 

Una vez normalizadas las fotografías, se realiza una compresión de los datos, para reducir la dimensión de los datos. Esta reducción quita información que no es útil y descompone de una forma precisa la información de la imagen en componentes ortogonales denominadas Eigenfaces, las cuales son almacenadas en un conjunto de vectores. La imagen que se quiere sondear se compara con la biblioteca de imágenes midiendo la distancia entre los respectivos vectores de rasgos

EL ÁLGEBRA LINEAL EN LA SEGURIDAD INFORMÁTICA

Debido a la necesidad de compartir información de manera secreta surge la criptografía que consiste en un conjunto de técnicas que permiten proteger las comunicaciones mediante el cifrado de datos y el posterior descifrado.

El cifrado de datos consiste en la transformación de datos legibles en un conjunto de datos  ilegibles y el descifrado es el proceso inverso.

Hay diversas maneras de realizar el cifrado y el descifrado de datos que una de ellas es utilizando el álgebra lineal, para lo cual se utiliza una matriz como sistema de cifrado y éste es muy difícil de romper cuando se utiliza una matriz de gran tamaño. El receptor decodifica el mensaje utilizando la matriz inversa.

EL ÁLGEBRA LINEAL EN EL AGRUPAMIENTO Y CLASIFICACIÓN DE DATOS

Un buscador de internet es esencialmente un “catálogo”  junto con un “recomendador” que te recomienda que leer. El éxito de un buscador es disponer de una gran base de datos ordenada con respecto a unas palabras clave bien elegidas y un buen recomendador que accede a la información de una manera rápida y eficiente.

Google es un líder en el mercado de los buscadores de internet y el éxito sin precedentes del mismo se debe al algoritmo que utiliza, denominado “PageRank”. 

El modelo de PageRank dice básicamente “La importancia x_i de la página p_i es directamente proporcional a la suma de las importancias de las páginas que enlazan con ella.”

En el universo de PageRank  todas las páginas web indexadas conforman un gran  grafo  en el que cada nodo es una página web censada y habrá una flecha desde la página p_i a la p_j si hay enlace desde la primera página hacia la segunda. Además en este gran grafo hay que asignar importancias. Esto se modela matemáticamente definiendo una matriz de incidencia de grafo que es una matriz cuadrada de tamaño igual a la cantidad de nodos del grafo y en la que se pone un uno en la posición (i,j) si la página web p_i tiene enlace con la página web p_j y un cero en caso contrario y aquí es donde aparece el álgebra lineal.

Si M_I es la matriz de incidencia del grafo de internet, y x = (x₁,…., x_N)  es el vector de importancias, entonces se cumple que:

            M_I^t X^t = λX^t

Donde λ es la constante de proporcionalidad.

Y esta es la base matemática de los buscadores de internet.

Este tipo de búsquedas y el modelo matemático de las mismas también es usado en las redes sociales para la averiguar la importancia o poder de cada miembro.

EL ÁLGEBRA LINEAL EN LA PROGRAMACIÓN GRÁFICA

El desarrollo de videojuegos implica el diseño y modelado de gráficos 2D y 3D. Cada vez que cambia una vista, rota la cámara o se mueve una imagen se realizan mediante vectores, matrices y transformaciones lineales.

La variación del tamaño y de la posición de objetos con respecto a un sistema de referencia se hace utilizando las transformaciones lineales: traslación, cambio de escala, giro y reflexión.

La informática gráfica suele utilizar la notación matricial para modelar las transformaciones lineales.

(x’,y’) = (x,y).M

Donde:

(x,y) es un punto inicial antes de la transformación

(x’,y’) es el punto final después de la transformación lineal

M es la matriz de transformación.

Introduccion

El álgebra lineal  incluye los siguientes aspectos:

• ·        Sistemas de ecuaciones lineales
• ·        Matrices y determinantes
• ·        Espacios vectoriales y subespacios
• ·        Transformaciones lineales
• ·        Polinomios
• ·        Números complejos
• ·        Diagonalización

Todos estos aspectos son fundamentales en la tecnología informática porque a través de ellos se resuelven innumerables problemas, además la diagonalización, que tiene una enorme aplicación, implica todos los demás aspectos del álgebra lineal.

Algunas de estas aplicaciones en la tecnología informática se muestran en los siguientes apartados.